Привіт Гість ( Вхід | Реєстрація )

> Perfect Cuboid, Задача про цілочисельний паралелепіпед
x3mEn
Aug 6 2010, 00:01
Пост #1


snow catcher
*********

Група: Moderators
Повідомлень: 2 225
З нами з: 4-August 07
Користувач №: 563
Стать: Чол
Free-DC_CPID





Раціональний кубоїд (або цілочисельна цеглина, або ідеальний кубоїд) — прямокутний паралелепіпед,
у якого всі сім основних величин (три ребра, три лицьових діагоналі і просторова діагональ) є цілими числами, є однією з відкритих математичних проблем
Інакше кажучи, раціональний кубоїд — цілочисельне рішення системи діофантових рівнянь.

Досі невідомо, чи існує такий паралелепіпед. Комп'ютерний перебір не знайшов жодної цілочисельної цеглини з ребрами до 10^11.
Втім, знайдено кілька «майже цілочисельних» паралелепіпедів, у яких цілочисельними є всі величини, крім однієї:
— одна з лицевих діагоналей не ціле число.
, — одне з ребер не ціле число.
Велика кількість паралелепіпедів Ейлера (з нецілою просторовою діагоналлю, див. нижче).
Косокутні паралелепіпеди, у яких всі сім величин цілі. При цьому досить одного непрямого кута.
У 2005 році тбіліський студент Лаша Маргішвілі запропонував доведення, що цілочисельний кубоід не існує — однак на 2009 рік робота так і не пройшла перевірку незалежними вченими.

Паралелепіпед Ейлера
Прямокутний паралелепіпед, у якого цілочисельні тільки ребра і лицьові діагоналі, називається ейлеровим.
Найменший з паралелепіпедів Ейлера — (240, 117, 44), з лицьовими діагоналями 267, 244 і 125.
Ще кілька паралелепіпедів Ейлера:
(275, 252, 240),
(693, 480, 140),
(720, 132, 85),
(792, 231, 160).
Ейлер описав два сімейства таких паралелепіпедів (звідси назва). Втім, повного опису всіх паралелепіпедів Ейлера також немає.
Відомі такі вимоги до ейлерового паралелепіпеда (а значить, і до цілочисельної цеглини):
- Одне ребро ділиться на 4, друге ділиться на 16, третє непарне (якщо, звичайно, він примітивний — тобто, НСД (a, b, c) = 1).
- Одне ребро ділиться на 3 і ще одне — на 9.
- Одне ребро ділиться на 5.
- Одне ребро ділиться на 11.
- Одне ребро ділиться на 19.
- Одне ребро або просторова діагональ діляться на 13.
- Одне ребро, лицьова або просторова діагональ діляться на 17.
- Одне ребро, лицьова або просторова діагональ діляться на 29.
- Одне ребро, лицьова або просторова діагональ діляться на 37.
- Добуток ребер, лицьових і просторової діагоналі має ділитися на 2^8·3^4·5^3·7·11·13·17·19·29·37

Це повідомлення відредагував x3mEn: Oct 22 2013, 09:16


--------------------

(Show/Hide)

User is offlineProfile CardPM
Go to the top of the page
+Quote Post
9 Сторінки V < 1 2 3 4 5 > »   
Reply to this topicStart new topic
Відповідей(30 - 44)
x3mEn
Jan 30 2011, 14:03
Пост #31


snow catcher
*********

Група: Moderators
Повідомлень: 2 225
З нами з: 4-August 07
Користувач №: 563
Стать: Чол
Free-DC_CPID



Далі.
Якщо число n має m розкладів на суму квадратів n = x(i)^2 + y(i)^2, то число 4n теж має m розладів, до того ж самі розклади утворюються із розкладів n ще простіше, аніж для 2n:
4n = 2^2 * n = (2x)^2 + (2y)^2

Давайте тепер повернемося до нашої задачі.
a^2 + b^2 = d^2
a^2 + c^2 = e^2
b^2 + c^2 = f^2
a^2 + f^2 = g^2

Ребра a, b, c мають бути різні, це зрозуміло, тому
для g^2 має існувати як мінімум 3 різні розклади на суми квадратів:
g^2 = a^2 + f^2
g^2 = b^2 + e^2
g^2 = c^2 + d^2

Для того, щоб n = g^2 розкладалося на суму квадратів, потрібно, щоб у розкладі n прості числа 4k+3 були представлені у парних ступенях.
До того ж n має бути повним квадратом, а це можливо тоді і тільки тоді, коли всі прості множники n представлені у парних ступенях.

Тепер доведемо, що діагональ мінімального ідеального кубоїда є непарним числом.
По-перше зазначимо, що якщо ідеальний кубоїд існує, значить їх існує нескінченно багато.
Адже лінійно збільшуючи "габарити" кубоїда ми отримаємо так само ідеальний кубоїд.
Тому задача полягає в пошуку ідеального кубоїда мінімального розміру.

Припустимо, що просторова діагональ g є числом парним.
Тоді, як доведено вище, має розклад на суму квадратів і число (g/2)^2.
І нам відомо, яким саме єдиним чином:
(g/2)^2 = (a/2)^2 + (f/2)^2
(g/2)^2 = (b/2)^2 + (e/2)^2
(g/2)^2 = (c/2)^2 + (d/2)^2
З парності g випливає парність a, b, c, d, e, f
Отже кубоїд з парною просторовою діагоналлю g не є мінімальним.
Висновок: парні просторові діагоналі нас не цікавлять.
А значить шукана g має бути числом непарним.


--------------------

(Show/Hide)

User is offlineProfile CardPM
Go to the top of the page
+Quote Post
x3mEn
Jan 30 2011, 20:13
Пост #32


snow catcher
*********

Група: Moderators
Повідомлень: 2 225
З нами з: 4-August 07
Користувач №: 563
Стать: Чол
Free-DC_CPID



Далі.

Теорема 5.
Якщо просте число p не можна представити у вигляді суми двох квадратів, і якщо сума квадратів x^2+y^2 кратна p, то кожне із цілих чисел x, y кратне p.
Доведення цієї теореми наведено в пдф документі на сторінці 20.

Із Теорем 1 і 5 випливає, що якщо в розкладі просторовою діагоналі g є прості числа виду 4k+3 у будь-яких ступенях, то і всі a, b, c, d, e, f кратні всім цим 4k+3, оскільки прості числа виду 4k+3 НЕ розкладаються на суму квадратів,
а значить кубоїд не є мінімальним, оскільки всю систему рівнянь можна спростити, поділивши всі рівняння на число Q = П q(j)^b(j), де q(j) - попарно різні прості числа виду 4k+3, b(j) - ступені q(j).

Таким чином якщо ідеальний кубоїд мінімального розміру існує, його просторова діагональ має мати вигляд добутку простих чисел виду 4k+1:
g = П (p(i)^a(i))
На цьому доведення цієї чудової властивості завершено.

Є питання?


--------------------

(Show/Hide)

User is offlineProfile CardPM
Go to the top of the page
+Quote Post
Alien
Jan 30 2011, 20:15
Пост #33


Разработчик MolDynGrid
*******

Група: Trusted Members
Повідомлень: 584
З нами з: 7-October 07
Користувач №: 594
Стать: Чол
Парк машин:
Q6600 2.4@3.0GHz\Asus p5kc\8Gb\8600GT\2 SATA: Sams 500Gb+ 500Gb + Seagate 400Gb



алхимия какая-то =)


--------------------
User is offlineProfile CardPM
Go to the top of the page
+Quote Post
A1ex01
Jan 31 2011, 14:53
Пост #34


round catcher)
********

Група: Trusted Members
Повідомлень: 1 395
З нами з: 27-August 08
З: Kyiv
Користувач №: 809
Стать: Чол
Парк машин:
хз*X2/2/500/хз*5870 ц7x64



(x3mEn @ Jan 30 2011, 20:13) *

Є питання?

та да, может быстрее 3 числа в квадрате сравнить, чем делать кучу проверок?
пока вникаю nike_cannabis.gif


--------------------
Stats: RC5-72 OGR-(26 /27 /28 ) Mag@(free-dc /boinc)
support: BTC 3Po6aejsoZM7bQvo138fuYwaLc67bzMfEr
User is offlineProfile CardPM
Go to the top of the page
+Quote Post
x3mEn
Jan 31 2011, 20:45
Пост #35


snow catcher
*********

Група: Moderators
Повідомлень: 2 225
З нами з: 4-August 07
Користувач №: 563
Стать: Чол
Free-DC_CPID



(A1ex01 @ Jan 31 2011, 14:53) *

(x3mEn @ Jan 30 2011, 20:13) *

Є питання?

та да, может быстрее 3 числа в квадрате сравнить, чем делать кучу проверок?
пока вникаю nike_cannabis.gif

Ну, по-перше, ще ніяких перевірок робити не треба, я тільки навів доведення, чому має дорівнювати просторова діагональ і, власне, вже дав підказку, яким чином її формувати.
По-друге, якщо ти пропонуєш перебирати всі комбінації трьох чисел-ребер, то для початку порахуй, скільки взагалі існує комбінацій (a, b, c), таких, що a<b<с і a^2+b^2+c^2 < 2^128
По-третє, пдінесення до квадрату 64 бітних чисел - операція дуже витратна. А ще більш витратна - добування корення з 128 бітного числа.
Ну а по-четверте, коли вирішиш проблему, як точно порахувати квадрат 64 бітного числа, а потім з точністю хоча б до третього знака після коми порахувати корінь з 128 бітного числа, приходь, розповіси.

Свого часу я розповім, яким чином я уникаю проблему виходу із 64 бітного простору, хоча, по суті, перевіряю просторові діагоналі аж до 2^64, які за формулою нібито ще треба підносити до квадрату.


--------------------

(Show/Hide)

User is offlineProfile CardPM
Go to the top of the page
+Quote Post
Death
Jan 31 2011, 21:59
Пост #36


<script ///>
**********

Група: Moderators
Повідомлень: 6 429
З нами з: 5-November 03
З: Kyiv
Користувач №: 26
Стать: НеСкажу
Free-DC_CPID
Парк машин:
гидропарк
jabber:deadjdona@gmail.com



самое главное узнать что уже было сделано в этом направлении.
а то получится как с вайфайричем

потім з точністю хоча б до третього знака після коми порахувати корінь з 128 бітного числа, приходь, розповіси.


та гавно вопрос

a$ = 128bitnumber$;
b$ = sqrt( a$ );
printf b$;


--------------------
wbr, Me. Dead J. Dona OGR-27
User is offlineProfile CardPM
Go to the top of the page
+Quote Post
molo
Jan 31 2011, 22:17
Пост #37


Трохи обжився
**

Група: Trusted Members
Повідомлень: 23
З нами з: 21-January 09
Користувач №: 906
Стать: Чол



(Death @ Jan 31 2011, 21:59) *

a$ = 128bitnumber$;
b$ = sqrt( a$ );
printf b$;

Mozha trohy konkretyky? Na chomu to napysano?

Bil'shist' cilyh (integer) chysel na .net/java obmezujet'sja 64bit -
-9,223,372,036,854,775,808 .. 9,223,372,036,854,775,807

Dlja 128bit mabut' pryjdet'sja svij 'type' vvodyty, ale to vzhe sprava realizaciji. Chastkovo bude opydsano tut - http://perfectcuboid.com/forum/4-development

UPD .NET - decimal value type - 79,228,162,514,264,337,593,543,950,335.


--------------------
User is offlineProfile CardPM
Go to the top of the page
+Quote Post
Death
Feb 1 2011, 10:58
Пост #38


<script ///>
**********

Група: Moderators
Повідомлень: 6 429
З нами з: 5-November 03
З: Kyiv
Користувач №: 26
Стать: НеСкажу
Free-DC_CPID
Парк машин:
гидропарк
jabber:deadjdona@gmail.com



та ні на чому. абстракція.

я хотів сказати що це справа компілятора обчислювати корені й іншу фігню.

людина розробляє алгоритм - машина рахує.


--------------------
wbr, Me. Dead J. Dona OGR-27
User is offlineProfile CardPM
Go to the top of the page
+Quote Post
vitalidze1
Feb 1 2011, 12:22
Пост #39


ЮЗЕР
********

Група: Moderators
Повідомлень: 1 382
З нами з: 17-May 09
З: Вінниця
Користувач №: 1 029
Стать: Чол
Free-DC_CPID
Парк машин:
~15-20 компліхтерів.



Йоптіль, як побачив ці квадрати, логарифми і іншу поєбень, аж мурашки по шкірі побігли.

PS. математику терпіти не можу fear.gif


--------------------


User is offlineProfile CardPM
Go to the top of the page
+Quote Post
x3mEn
Feb 1 2011, 18:53
Пост #40


snow catcher
*********

Група: Moderators
Повідомлень: 2 225
З нами з: 4-August 07
Користувач №: 563
Стать: Чол
Free-DC_CPID



vitalidze1,
ну ясно, тру кранчер


--------------------

(Show/Hide)

User is offlineProfile CardPM
Go to the top of the page
+Quote Post
A1ex01
Feb 1 2011, 22:15
Пост #41


round catcher)
********

Група: Trusted Members
Повідомлень: 1 395
З нами з: 27-August 08
З: Kyiv
Користувач №: 809
Стать: Чол
Парк машин:
хз*X2/2/500/хз*5870 ц7x64



(x3mEn @ Jan 31 2011, 20:45) *

По-третє, пдінесення до квадрату 64 бітних чисел - операція дуже витратна. А ще більш витратна - добування корення з 128 бітного числа.
Ну а по-четверте, коли вирішиш проблему, як точно порахувати квадрат 64 бітного числа, а потім з точністю хоча б до третього знака після коми порахувати корінь з 128 бітного числа, приходь, розповіси.


SSEx пробовал?-там регистры 128бит


--------------------
Stats: RC5-72 OGR-(26 /27 /28 ) Mag@(free-dc /boinc)
support: BTC 3Po6aejsoZM7bQvo138fuYwaLc67bzMfEr
User is offlineProfile CardPM
Go to the top of the page
+Quote Post
A1ex01
Mar 25 2011, 17:56
Пост #42


round catcher)
********

Група: Trusted Members
Повідомлень: 1 395
З нами з: 27-August 08
З: Kyiv
Користувач №: 809
Стать: Чол
Парк машин:
хз*X2/2/500/хз*5870 ц7x64



x3mEn, по кубоиду
D^2=a^2+b^2+c^2
dab^2=a^2+b^2
dbc^2=b^2+c^2
dac^2=a^2+c^2

dab^2+dbc^2+dac^2=2(a^2+b^2+c^2)=2D^2 -сумма квадратов диагоналей четная, значит 2 диагонали нечетные или три четные =>D -четное



--------------------
Stats: RC5-72 OGR-(26 /27 /28 ) Mag@(free-dc /boinc)
support: BTC 3Po6aejsoZM7bQvo138fuYwaLc67bzMfEr
User is offlineProfile CardPM
Go to the top of the page
+Quote Post
x3mEn
Mar 25 2011, 20:09
Пост #43


snow catcher
*********

Група: Moderators
Повідомлень: 2 225
З нами з: 4-August 07
Користувач №: 563
Стать: Чол
Free-DC_CPID



A1ex01,
поясни, як ти зробив висновок, що з непарності двох із трьох діагоналей випливає парність просторової діагоналі.

Контраргумент:
D^2=a^2+b^2+c^2
dab^2=a^2+b^2
dbc^2=b^2+c^2
dac^2=a^2+c^2

неп^2=пар^2+пар^2+неп^2
пар^2=пар^2+пар^2
неп^2=пар^2+неп^2
неп^2=пар^2+неп^2

В дійсності ти вивів ще одну властивість кубоїда:
у ньому дві з трьох лицьових діагоналей непарні.


--------------------

(Show/Hide)

User is offlineProfile CardPM
Go to the top of the page
+Quote Post
Allineer
Mar 25 2011, 22:55
Пост #44


мрію про ферму...
*****

Група: Trusted Members
Повідомлень: 186
З нами з: 15-February 11
Користувач №: 1 637
Стать: Чол



A1ex01, x3mEn, ребят, простите... а вы сейчас с кем разговариваете? smile.gif
User is offlineProfile CardPM
Go to the top of the page
+Quote Post
x3mEn
Mar 26 2011, 00:25
Пост #45


snow catcher
*********

Група: Moderators
Повідомлень: 2 225
З нами з: 4-August 07
Користувач №: 563
Стать: Чол
Free-DC_CPID



Allineer,
розмова почалась ось тут:
http://distributed.org.ua/forum/index.php?...indpost&p=66404
продовжена ось тут:
http://perfectcuboid.com/forum/6---/9
перекладена ось тут:
http://www.rechenkraft.net/phpBB/viewtopic.php?f=56&t=11559
продубльована ось тут:
http://perfectcuboid.com/forum/4-development/28-theory

Якщо сильний математик чи програміст (а краще і той і той одночасно), приєднуйся до розмови, you are welcome!


--------------------

(Show/Hide)

User is offlineProfile CardPM
Go to the top of the page
+Quote Post

9 Сторінки V < 1 2 3 4 5 > » 
Reply to this topicStart new topic
4 Користувачів переглядають дану тему (4 Гостей і 0 Прихованих Користувачів)
0 Користувачів:

 



- Lo-Fi Версія Поточний час: 28th March 2024 - 22:44

Invision Power Board v1.3.3 © 1996 IPS, Inc.