Generalized Fermat Prime Search

Протягом 17 сторіччя П'єр Ферма (Pierre de Fermat) та Марі Мерсен (Marin Mersenne) вивчали дві певні форми чисел, з надією, що вони можуть продукувати велику кількість простих чисел, чи навіть нескінчену кількість простих. Мерсен працював над переліком простих виду 2^n-1, таких, що n < 257. Знадобилось багато років праці, щоб створити коректний перелік таких чисел. У листуванні з Френікл (Frénicle) Ферма висловив переконання, якщо n є ступінню 2, тоді 2^n+1 є простим числом. Ферма знав, що 3, 5, 17, 257 і 65537 є простими, але пізніше Ейлер (Euler) показав, що Ферма помилявся, віднайшовши дільник для наступного числа.

На честь натхнених піонерів теорії чисел, числа виду 2^n-1 тепер називаються числами Мерсена, а числа виду 2^n+1 числами Ферма. Пошук простих Мерсена та Ферма значно просунувся від часів 17 сторіччя. Тепер відомі всі прості Мерсена з кількістю цифр менше за 2'000'000 і досліджено всі числа Ферма аж до 2'000'000'000 цифр! Це стало можливим, тому що протягом 19 ст. було винайдено декілька ефектнивних методів перевірки цих чисел на простоту. Одночасно з цим, деякі тести не менш швидкі були знайдені для перевірки всіх чисел N, якщо відома факторизація чисел N-1 або N+1. Таким чином багато форм чисел можуть бути використані для пошуку найбільших відомих простих, але на диво пошук найбільших простих обмежується числами Мерсена. Відомими виключенями стали (2^148+1)/17 (винайдено у 1951 році з використанням ручного обчислювального методу), 180·(2^127-1)^2+1 (винайдено у 1951 році) і 391581·2^216193-1 (знайдено за допомогою “Amdahl 6” в 1989).

З 50-х по 70-ті розмір найбільших відомих простих постійно ріс разом із швидкостями комп'ютерів, але використовувані алгоритми залишались тими самими, що і наприкінці 19 ст. Але в 80-х роках, методи, що використовуються для обчислення базової операції алгоритму, добутку, змінилась. Помітивши, що добуток може бути представлений у вигляді суми скінченої послідовності, теорія дискретних транформація показала, як швидко обчислити цю операцію за допомогою швидких перетворень Фур'є (Fast Fourier Transform, FFT). За допомогою цього методу було знайдено деякі прості з більш ніж 10'000 та 100'000 цифр.

В 1994 R. Crandall та B. Fagin винайшли, що за допомогою дискретних зважених трансформацій (Discrete Weighted Transform, DWT) швидкість пошуку простих Мерсена та Ферма може бути подвоєна. Цей метод було використано у пошуку шости нових простих Мерсена (найбільше з них містило понад 6'000'000 цифр) і довести складеність деяких чисел Ферма. Але прості серед чисел Мерсена та Ферма є рідкістю і шанс знайти нове просте малий.

В 1998 році Y. Gallot помітив, що дискретна зважена трансформація є поліноміальною операцією і якщо представлення чисел не обмежується базою 2, тоді багато чисел можуть бути перевірені на тому ж рівні швидкості, як і числа Мерсена: узагальнені числа Ферма (Generalized Fermat Numbers, GFN), які є числами виду b^n+1, де n є ступінню 2. Він реалізував алгоритм в 1999 у програмі Proth.exe, яка з того часу була ще оптимізована. Теоретичні гіпотези стали дійсністю: пошук узагальнених простих Ферма так само швидкий, як і пошук простих Мерсена такого ж розміру. За допомогою десятків комп'ютерів було знайдено багато простих, що містять більше ніж 100'000 цифр. В 2002 P. Carmody разом з B. Frey досягли великих успіхів в алгоритмі відсіву узагальнених чисел Ферма. P. Carmody організував прикладання великих зусиль до відсіву за допомогою програми, що була написана D. Underbakke, що таким чином прискорило пошук узагальнених простих чисел Ферма.

Узагальнених чисел Ферма існує набагато більше, ніж чисел Мерсена того ж розміру і багато з них чекають на те, щоб заповнити прогалини між простими Мерсена, що вже знайдено і тими, що ще ні. Якщо ви зацікавлені у пошуку простих 21-го сторіччя, вас запрошують долучитися до Generalized Fermat Prime Search!

Generalized Fermat Prime Search - це підпроект з пошуку простих чисел виду b^n+1, де n є ступінню 2.

• GFN32768: User Primes
• GFN65536: User Primes
• GFN262144: User Primes
• GFN524288: User Primes

Cтаном на 8 листопада 2013: